Un système de numération est un ensemble de symboles et de règles par lesquels on peut exprimé tous les nombres valides au sein de ce système. Par exemple, le système décimal, que nous utilisons au quotidien, utilise le nombre 10 comme base et est composé de 10 nombres différents avec lesquels on peut représenter tous les autres nombres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Il s’agit d’un système positionnel et donc la valeur de chaque nombre varie en fonction de la position qu’il occupe (unités, dizaines, centaines, etc.).
Le système binaire, populairement connu parce que c’est le système utilisé par les ordinateurs et autres appareils électroniques, est un système de base 2. Cela signifie qu’il s’agit d’un système qui n’utilise que deux chiffres pour représenter tous ses nombres et dans le cas du code binaire ces deux nombres sont 0 et 1. Les ordinateurs utilisent le système binaire car ils ne fonctionnent qu’avec deux niveaux de tension : éteint ou sans présence de charge électrique (0) et allumé ou avec présence de charge électrique (1).
Il existe d’autres systèmes de numérotation avec des usages différents, comme le système octal (base 8) et le système hexadécimal (base 16), tous deux également utilisés dans le monde informatique, ou le système sexagésimal (base 60), qu’on utilise chaque jour pour mesurer le temps (une heure équivaut à 60 minutes et chaque minute équivaut à 60 secondes).
L’origine du système binaire
Les premières descriptions d’un système de numération binaire datent du IIIe siècle A.C. et sont attribuées à un ancien mathématicien indien nommé Pingala. Les premières représentations des nombres binaires se trouvent dans les ouvrages classiques d’origine chinoise, plus précisément dans l’ouvrage philosophique « I Ching« , qui date entre les années 1200 et 100 a. c.
Au cours des siècles suivants, nous trouvons de la documentation sur d’autres mathématiciens et sur d’autres types de penseurs qui exposent des idées liées au système binaire. Par exemple, Sir Francis Bacon a créé le Bacon Code au début du XVIIe siècle, un code cryptographique basé sur le système binaire qui utilisait les lettres A et B regroupées en combinaisons de cinq lettres pour chiffrer les messages.
Quant au système binaire moderne, la base mathématique du système binaire tel que nous le connaissons a été documentée pour la première fois au 17ème siècle par le mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz. En 1703, Leibniz publie l’article « Explication de l’Arithmétique Binaire« , où il explique comment les nombres peuvent être représentés à l’aide des chiffres 0 et 1. A cette époque, ses études ne répondent à aucun objectif précis, mais avec l’arrivée de les premiers ordinateurs au début du 20e siècle, près de 300 ans plus tard, il a été possible d’observer comment tout ce que Leibniz avait expliqué dans son article a été appliqué par les premiers programmeurs informatiques.
Il est également important de souligner les contributions du mathématicien britannique George Boole, qui en 1854 a publié un article dans lequel il a détaillé un système de logique, appelé Algèbre booléenne, qui partait de la théorie du système binaire et qui fut la clé du développement de circuits électroniques
Conversion d’un nombre en binaire
Il est possible de convertir un nombre d’un système de numération à un autre, par exemple du binaire en décimal ou vice versa. Dans le premier cas, il faut factoriser le nombre binaire (base 2) et plus tard on pourra le convertir en un nombre équivalent dans le système décimal. Si nous avons le nombre binaire 10111101 et que nous voulons le convertir en un nombre décimal, nous devons d’abord le factoriser en utilisant le nombre 2 et en l’élevant à la puissance correspondant à chaque chiffre selon la position qu’il occupe dans la série de nombres. Comme exposants, nous utiliserons 0, 1, 2, 3… jusqu’à ce que nous atteignions 7, et nous commencerons à factoriser en suivant l’ordre de gauche à droite et en commençant par le plus grand exposant. Enfin, nous pourrons faire une addition et trouver le nombre décimal équivalent :
10111101 = (1·27) + (0·26) + (1·25) + (1·24) + (1·23) + (1·22) + (0·21) + (1·20)
10111101 = (128) + (0) + (32) + (16) + (8) + (4) + (0) + (1)
10111101 = 189
Pour convertir un nombre entier du système décimal et trouver son équivalent dans le système binaire, nous devons utiliser le nombre que nous voulons convertir (189) comme dividende et le nombre 2 comme diviseur, puisque le nombre que nous recherchons a une base 2. Tout alors on prendrait le résultat de cette première division et on le diviserait à nouveau par 2 (et ainsi de suite à chaque quotient obtenu jusqu’à ce qu’il ne soit plus possible de diviser). Une fois les divisions terminées, nous écrirons les nombres correspondant aux résidus de chaque division dans l’ordre inverse, c’est-à-dire en les prenant de la dernière division que nous avons faite à la première. De cette façon, nous obtiendrons le nombre binaire équivalent (10111101).